POIN : 30 Lingkaran x²+y²-4x-2y-31 = 0 berpusat di titik P dan memotong garis 3x+4y+5 = 0 di titik A dan B. Jika sudut

x² + y² - 4x - 2y - 31 = 0
Persamaannya dapat diubah menjadi
(x - 2)² + (y - 1)² = 6²
Titik pusatnya (2,1)

Lingkaran tsb memotong garis 3x + 4y + 5 = 0
Substitusi persamaan garis ke persamaaan lingkaran

4y = -3x - 5
y = -3/4 x - 5/4

(x - 2)² + (-3/4 x - 5/4 - 1)² = 6²
(x - 2)² + (-3/4 x - 9/4)² = 36
x² - 4x + 4 + 9/16 x² + 27/8 x + 81/16 = 36
25/16 x² - 5/8 x - 431/16 = 0
25x² - 10x - 431 = 0 ..... (i)

3x = -4y - 5
x = -4/3 y - 5/3

(-4/3 y - 5/3 - 2)² + (y - 1)² = 6²
(-4/3y - 11/3)² + (y - 1)² = 36
16/9 y² + 88/9 y + 121/9 + y² - 2y + 1 = 36
25/9 y² + 70/9 y - 192/9 = 0
25y² + 70y - 192 = 0 ..... (ii)

Akar2 persamaan i dan ii adalah koordinat titik A dan B. Untuk mencari tan sudut APB, lebih dulu harus mencari cos APB dengan aturan cos.

Segitiga yg digunakan adalah segitiga APB, dengan AP = AB = radius = 6. Dan AB akan kita cari
AB = √((x1 - x2)² + (y1 - y2)²)

Karena –seperti yg sudah saya bilang– (x1, y1) dan (x2, y2) adalah koordinat titik A dan B yg di dapat dari persamaan i dan ii, maka tidak perlu mencari penyelesaian persamaan tersebut. Hanya perlu mendapatkan nilai (x1 - x2)² dan (y1 - y2)²

Dengan memanfaatkan teorema Vieta,
Dari persamaan i didapat
x1 + x2 = 2/5
x1.x2 = -431/25

(x1 - x2)²
= (x1 + x2)² - 4.x1.x2
= (2/5)² - 4(-431/25)
= 4/25 + 1724/25
= 1728/25

Dari persamaan ii didapat
y1 + y2 = -14/5
y1.y2 = -192/25

(y1 - y2)²
= (y1 + y2)² - 4.y1.y2
= (-14/5)² - 4(-192/25)
= 196/25 + 768/25
= 964/25

AB = √(1728/25 + 964/25)
= √(2692/25)
= 2/5 √673

cos APB = [6² + 6² - (√(2692/25))²]/[2.6.6]
= [-892/25]/[72]
= -223/450


tan APB ≈ 390,85