pada segitiga sama kaki ABC dengan panjang AC = BC = 15 cm dan panjang AB = 18 cm akan dibuat persegi panjang dalam segitiga ABC. Luas maksimum persegi panjang

Pada segitiga sama kaki ABC dengan panjang AC = BC = 15 cm dan panjang AB = 18 cm akan dibuat persegi panjang dalam segitiga ABC. Luas maksimum persegi panjang tersebut adalah 54 cm². Hasil tersebut diperoleh dengan mencari nilai stasionernya. Nilai stasioner diperoleh jika f’(x) = 0. Titik stasioner ada 3 jenis yaitu

• Titik balik maksimum  
• Titik balik minimum  
• Titik belok  

Pembahasan

Segitiga ABC adalah segitiga sama kaki dengan alas AB = 18 cm dan dua sisi lainnya AC = BC = 15 cm

Misal titik tengah AB adalah titik P maka AP = PB = 9 cm dan tinggi segitiga adalah

CP = √(AC² – AP²)

CP = √(15² – 9²)

CP = √(225 – 81)

CP = √(144)

CP = 12

Akan dibuat persegi panjang di dalam segitiga tersebut. Untuk memudahkan, gambar segitiga ABC pada koordinat Cartesius, dengan :

• C adalah titik potong terhadap sumbu y ⇒ A(0, 12)
• A dan B adalah titik potong terhadap sumbu x ⇒ B(–9, 0) dan C(9, 0)

Dalam segitiga tersebut akan dibuat persegi panjang dengan ukuran

• panjang = 2x
• lebar = y

(Untuk lebih jelas, lihat sketsa gambar di Lampiran)

Persamaan garis CB yaitu garis yang melalui titik C(0, 12) dan B(9, 0)

[tex]\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{y - y_{1}}{x - x_{1}} [/tex]

[tex]\frac{0 - 12}{9 - 0} = \frac{y - 12}{x - 0} [/tex]

[tex]\frac{-12}{9} = \frac{y - 12}{x} [/tex]

[tex]\frac{-4}{3} = \frac{y - 12}{x} [/tex]

3(y – 12) = –4x

y – 12 = [tex]-\frac{4}{3}[/tex]x

y = 12 – [tex]\frac{4}{3}[/tex]x

Luas persegi panjang

L(x) = p . l

L(x) = 2x . y

L(x) = 2x . (12 – [tex]\frac{4}{3}[/tex]x)

L(x) = 24x – [tex]\frac{8}{3}[/tex]x²

Agar diperoleh luas maksimum maka kita harus mencari nilai stasionernya yaitu L'(x) = 0

L(x) = 24x – [tex]\frac{8}{3}[/tex]x²

L'(x) = 24 – [tex]\frac{16}{3}[/tex]x

0 = 24 – [tex]\frac{16}{3}[/tex]x

[tex]\frac{16}{3}[/tex]x = 24

16x = 72

x = [tex]\frac{72}{16}[/tex]

x = [tex]\frac{9}{2}[/tex]

Jadi ukuran persegi panjang tersebut adalah

Panjang:

p = 2x  

p = 2([tex]\frac{9}{2}[/tex])

p = 9

Lebar:

l = y

l = 12 – [tex]\frac{4}{3}[/tex]x

l = 12 – [tex]\frac{4}{3} (\frac{9}{2})[/tex]

l = 12 – [tex]\frac{36}{6}[/tex]

l = 12 – 6

l = 6

Jadi agar diperoleh luas maksimum haruslah x = [tex]\frac{9}{2}[/tex] sehingga diperoleh panjang = 9 cm dan lebar 6 cm

Luas maksimum persegi panjang  adalah

L = p × l

L = 9 cm × 6 cm  

L = 54 cm²

Cara lain

Jika didalam segitiga akan dibuat persegi panjang dengan alasnya berimpit dengan alas segitiga, maka

• Luas maksimum persegi panjang = ½ × luas segitiga
• Luas minimum segitiga = 2 × luas persegi panjang

Segitiga ABC sama kaki dengan alas 18 cm dan dua sisi lainnya 15 cm maka tinggi segitiga = 12 cm (diperoleh dengan rumus Pythagoras). Luas maksimum persegi panjang di dalam sebuah segitiga adalah

L = ½ × Luas segitiga

L = ½ × (½ × alas × tinggi)

L = ½ × ½ × 18 cm × 12 cm

L = ¼ × 18 cm × 12 cm

L = 18 cm × 3 cm

L = 54 cm²

Jadi luas maksimum dari persegi panjang tersebut adalah 54 cm²

Pelajari Lebih Lanjut

Contoh soal lain tentang nilai stasioner

• Luas maksimum persegi panjang dalam segitiga: https://brainly.co.id/tugas/14848390
• Penjualan maksimum: https://brainly.co.id/tugas/13787566
• Biaya minimum: https://brainly.co.id/tugas/252367

------------------------------------------------

Detil Jawaban    

Kelas : 11

Mapel : Matematika  

Kategori : Turunan Fungsi Aljabar

Kode : 11.2.9

Kata Kunci : segitiga ABC, luas maksimum, persegi panjang